Exercice 2 - Datation radiométrique

Dans la haute atmosphère, des réactions nucléaires initiées par le rayonnement cosmique produisent un flux de neutrons libres. Après avoir été ralentis par collision avec les molécules de l'air, les neutrons réagissent avec les noyaux des atomes d'azote pour former des noyaux d'atome de carbone 14, selon l'équation de réaction :

  \(^ 1 _0\text{n}+\;^{14}_7\text{N}\rightarrow \;^{14}_6\text{C} +\; ^1_1\text{H}\).

Q1. Indiquer en justifiant si l'azote 14 et le carbone 14 ci-dessus sont des isotopes.

L'atome de carbone 14, ainsi produit, réagit rapidement avec le dioxygène O₂ de l'atmosphère pour former du dioxyde de carbone CO₂ qui est assimilé par les plantes lors de la photosynthèse et donc indirectement par les êtres humains. Pour dater un corps carboné, on compare l'activité A (c'est-à-dire le nombre de noyaux d'atomes de carbone 14 qui se désintègrent par unité de temps) à l'instant t de l'analyse, avec l'activité A₀ d’un même échantillon de carbone 14 récemment « mort ».
L'équation de désintégration du carbone 14 en azote 14 s'écrit :

  \(^{14}_6\text{C}\rightarrow \;^{14}_7\text{N } +\; ^0_{-1}\text{e }\).

Q2. Donner le type de radioactivité mis en jeu lors de cette désintégration.

Q3. Évaluer le temps de demi-vie noté \(t_{\text{1/2}}\) du carbone 14.

Q4. Donner au bout de combien de temps l’activité initiale A₀ a été divisée par quatre.

Le prélèvement d’un crâne retrouvé dans un grenier parisien a fourni une activité A au moment de la mesure (en juin 2013) telle que A = 12,8 désintégrations par minute et par gramme de carbone alors que l’activité initiale peut être estimée à A₀ = 13,5 désintégrations par minute et par gramme de carbone.
Le crâne momifié est supposé être celui du roi de France, Henri IV, né en 1553 et mort en 1610.

Q5. Montrer par une lecture graphique que ce crâne pourrait être celui du roi de France.

La loi de décroissance radioactive concernant le carbone 14 peut s'écrire en fonction de son activité : \(A=A_0\text{e}^{-\lambda\cdot t}\).
On rappelle que pour un radio-isotope donné que le temps de demi-vie est relié à la constante
radioactive par la relation suivante :  \(t_{\text{1/2}}=\frac{\text{ln 2}} {\lambda}\) .
Q6. Démontrer que l'expression qui permet de donner l'âge t de la mort d'un organisme s'écrit :
  \(t =\frac{t_{\text{1/2}}} {\text{ln 2}}\times \text{ln(}\frac{A_0}{A})\).
Le prélèvement d'une poutre en bois dans la tombe du vizir Hemada à Sakara fournit une activité au moment de la mesure telle que A = 6,68 désintégrations par minute et par gramme de carbone alors que A₀ = 13,5 désintégrations par minute et par gramme de carbone. On prendra un temps de demi-vie pour le carbone 14 de 5 730 ans.
Q7. Estimer l’âge de la tombe du vizir Hemada à Sakara.